Persamaan dan Pertidaksamaan - Aljabar

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Tujuan

Laporan ini dibuat bertujuan untuk mengidentifikasi berbagai terapan Geometri Bidang yang telah digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, tujuan laporan ini yaitu agar mahasiswa lebih mengerti dan memahami materi Geometri Bidang. Mahasiswa juga dapat terdorong untuk aktif dalam kegiatan dikelas maupun diluar ruangan dengan mendiskusikan bahasan topik tentang Geometri Bidang beserta penerapannya dalam kehidupan sehari hari. Selain itu, untuk melatih Mahasiswa untuk berani mengeluarkan pendapat dan tampil didepan umum untuk mengajarkan materi Geometri Bidang.

1.2 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan- permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas. Dewasa ini, banyak mahasiswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit  pula yang benar-benar membenci pelajaran ini. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, mahasiswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar. Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.

1.3 Rumusan Masalah

1. Bagaimana konsep persamaan secara umum ?

2. Bagaimana konsep pertidaksamaan secara umum?

3. Apa saja contoh soal dan pemecahan soal persamaan dan pertidaksamaan ?

1.4  Sistematika Penulisan

Dalam karya ilmiah ini sistematika di bagi menjadi 5 bab yaitu:

Bab I Pendahuluan berisi tujuan, latar belakang, rumusan masalah, dan sistematika penulisan.

Bab II Isi berisi kajian teori dari masalah dan pembahasannya, contoh soal beserta penyelesaiannya.

Bab III Penutup berisi simpulan dari laporan ini dan saran yang diberikan.

BAB II

ISI

2.1 Persamaan

Persamaan adalah kalimat aljabar yang dihubungkan dengan tanda sama dengan “=“ (menurut Novia). Persamaan adalah kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salah yang memuat tanda sama dengan “=“ (tambahan dari Citra)

2.1.1 Persamaan Linear Satu Variabel Pangkat Satu

Persamaan linear satu variabel pangkat satu adalah kalimat aljabar yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (menurut Anisa). Persamaan linear satu variabel dapat diselesaikan menggunakan cara subtitusi (tambahan dari Anggi). Bentuk umum PLSV pangkat satu => ax+b = c (vieenalavina130.wordpress.com/2013/01/21)

Contoh soal :

     x + 5 = 9

     x + 5 – 5 = 9 – 5 ( kedua ruas dikurangi 5)

              x = 4

2.1.2 Persamaan Kuadrat Satu Variabel

Persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan yang memuat satu variabel dan berpangkat dua (menurut Novia). Persamaan kuadrat satu variabel mempunyai hasil ganda. Hasil tersebut dapat bernilai negatif saja, positif saja, atau negatif dan positif (menurut Anggi). Bentuk umum PLSV pangkat dua => ax² + bx + c = 0

PLSV pangkat dua dapat dicari penyelesaian dengan cara :

•      pemfaktoran

•      melengkapkan kuadrat secara umum

•      rumus abc      (buku catatan SMA Citra)

Tentukan akar-akar persamaan setiap persamaan kuadrat berikut :

1) x² - 3x – 10 = 0

Cara 1 è memfaktorkan

  x² - 3x – 10 = 0

x²  - 5x + 2x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x - 5) = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

x - 5 = 0 atau x + 2 = 0

      x = 5                 x = -2

(buku catatan SMA Citra)

2) x² - 3x – 5 = 0

Cara 2 è melengkapkan kuadrat secara umum

x² - 3x – 5 = 0

x² - 3x          = 5

 = 5 +

 = 5 +

 =

 =

 =

          x =      

 =  +

 =  -                         (buku catatan SMA Citra)

3) 9x² - 12x + 4 = 0

Cara 3 è rumus abc

Koefisien a = 9, b= -12, c= 4

=

       =

        =

        =

  =        (buku catatan SMA Citra)

2.1.3 Persamaan Linear Dua Variabel Pangkat Satu

Persamaan linear dua variabel pangkat satu adalah kalimat terbuka yang mempunyai nilai yang sama dan terdapat dua variabel yang berbeda-beda (menurut Anggi).

Bentuk umum PLDV pangkat satu =>ax +by=c (academia.edu/4656242/)

Contoh Soal Persamaan linear dua variabel pangkat satu :

1)      2x + 4y =9

x	0	1	2	-1	-2
y	9/4	7/4	5/4	11/4	13/4

2)      Tentukan Penyelesaian sistem persamaan linear berikut

4x + 2y = 30

x + y = 13

Metode eliminasi

4x + 2y = 30    x 1  è 4x + 2y = 30

X + y = 13          x 2        2x + 2y = 26

                                    2x = 4 < == >  x = 2

Untuk mencari nilai y, x yang dieliminasi :

4x + 2y = 30    x 1  è 4x + 2y = 30

X + y = 13          x 4        4x + 4y = 52

-2y = -22 < == >  y = 11

Metode Substitusi

4x + 2y = 30    ó y = 13 – x  ó 4x + 2(13-x) =30 ó 4x + 26 – 2x = 30

         ó2x = 4 ó x=2

x + y = 13       

4(2) + y= 13  ó 8 + y =13  ó y = 11

           

Metode campuran

Metode eliminasi

4x + 2y = 30    x 1  è 4x + 2y = 30

X + y = 13       x 2        2x + 2y = 26

                                    2x = 4 < == >  x = 2

Metode subtitusi                     jadi,

4x + 2y = 30                            x = 2

4(2) + 2y = 30                         y = 11

    8 + 2y   = 30                                   

            2y = 30 – 8

            2y = 22

            y = 11

2.1.4 Persamaan Kuadrat Dua Variabel

Persamaan kuadrat dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel di mana pangkat atau derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan dua. Bentuk umum PLDV pangkat dua:

ax² + by² + c = 0         (academia.edu/7356957/BAB_IV).

Contoh soal :

Tentukan Penyelesaian sistem persamaan linear berikut

4x² – 5xy + 3y²= 24

2x² – 3xy + 2y²= 16

Penyelesaian :

4x² – 5xy + 3y² = 24   x 2   è 8x² – 10xy + 6y² = 48

2x² – 3xy + 2y² = 16   x 3         6x² – 9xy + 6y² = 48

                                                2x² - xy                        = 0

                                                x(2x – y)          = 0

                                                x = 0 atau y = 2x

Jika x = 0 maka, 4x² – 5xy + 3y² = 24

                       4(0)² – 5(0)y + 3y² = 24   < == >         3y² = 24

                                                                         y² = 8

                                                                        y =

Jika y = 2x maka, 4x² – 5xy + 3y² = 24

                         4x² – 5x(2x) + 3(2x)² = 24

                         4x² –  10x² + 12x² = 24

                                          6x² = 24     < == >      x² = 4          < == >    x =

Jadi nilai y

            x = 2 è y = 2x                      

                        y = 2(2)

                        y = 4

            x = -2 è y = 2x

                        y = 2(-2)

                        y = -4

Martono, Koko.2004.Matematika dan Kecakapan Hidup.Bandung : Ganeca Exact hal 119

Jadi solusi sistem persamaannya adalah (0, 2), (0, -2), (2,4), (-2, -4)

2.2 Pertidaksamaan

Pertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih (id.wikipedia.org/wiki/pertidaksamaan) yang dapat berpangkat satu ataupun dua. Pertidaksamaan mempunyai tanda-tanda berupa: <, >, ≤, ≥ dibaca kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan, lebih dari sama dengan (tambahan dari Anisa).

Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan linear adalah kalimat matematika terbuka yang menunjukkan ketidaksamaan dan dihubungkan dengan tanda ≠, yaitu ≥, ≤, <, > dan hanya bisa mempunyai pangkat satu saja.

2.2.1 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pangkat Satu

Pertidaksamaan linear satu variabel pangkat satu adalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel berpangkat satu (Menurut Citra). Bentuk umum PtLSV pangkat satu:

ax +b < c         ax+ b > c         ax+ b  c        ax+ b  c

1)      3x – 5 > x + 9

3x – x > 9 + 5

              2x > 14

                x > 7

2) -x – 2 ≤ 4x + 8

       -x – 4x ≤ 8 + 2

              -5x ≤ 10

                  

            x              (berubah tanda karena kedua ruasnya dibagi dengan negatif)

2.2.2 Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel

Pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pernyataan yang mempunyai dua nilai dan memiliki satu variabel serta berpangkat dua atau disebut pertidaksamaan kuadrat. (Menurut Novia). Bentuk umum PtLSV pangkat dua:

                             ax² + bx + c ≤ 0

                             ax² + bx + c ≥ 0

                             ax² + bx + c > 0

                             ax² + bx + c < 0

Contoh soal :

x² - 3x – 10 < 0

1)      Dapat diselesaikan dengan cara garis bilangan, yaitu :

x² - 3x – 10 < 0

Misal x² - 3x – 10 = 0                         

(x – 5)(x + 2) = 0

             x = 5 atau x = -2                                

---

          +                            +

          - 2                      5

Hp = { x | -2 < x < 5, x  R }

f(x) = x² - 3x – 10 < 0

2)      Dapat diselesaikan dengan metode sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu :

x² - 3x – 10 < 0

Misal x² - 3x – 10 = 0

          (x – 5)(x + 2) = 0

             x = 5 atau x = -2

X disubkan ke dalam pertidaksamaan :

Jika x = 5,

maka x² - 3x – 10 = y

          (5)² - 3(5) – 10 = y

                        0 = y

Jika x = -2,

maka x² - 3x – 10 = y

           (-2)² - 3(-2) – 10 = y

                             0 = y

Hp = { x | -2 < x < 5, x  R }

2.2.3 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pangkat Satu

Pertidaksamaan linear dua variabel pangkat satu adalah suatu pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing- masing variabel itu berderajat satu. Bentuk umum PtLDV pangkat satu :

                              ax+by ≤ c

      ax+by ≥ c

                              ax+by > c             

                              ax+by < c 

(reekhado-math.blogspot.com/2012/12/1024x768-normal-o-false.html)

1)      Gambarlah daerah himpunan penyelesaian  pertidaksamaan 2x + 3y

Jawab : 2x + 3y  ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis 2x +3y = 6

•      Titik potong dengan sumbu x, y = 0

 2x + 3(0) = 6  2x = 6   x = 3

•      Titik potong dengan sumbu y, x = 0

 2x + 3(0) = 6  3y = 6   y = 2

•      Titik potong dengan sumbu koordinat di (3,0) dan (0,2) diperoleh grafik  2x + 3y

(http://rumus-matematika.com/wp-conteuploads/2013/08/)

2.2.4 Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah kalimat matematika yang memiliki dua variabel dan berpangkat dua (kuadrat). Bentuk umum PtLDV pangkat dua :

                               ax² + by² + c ≤ 0

                               ax² + by² + c ≥ 0

                               ax² + by² + c < 0

                               ax² + by² + c > 0

(Wirodikromo,Sartono.2001.Matematika untuk SMA X.Jakarta : Erlangga hal 209)

Contoh soal :

1)      Suatu titik, A (-7,b) diluar lingkaran a² + b² = 81

 a² +  81

                                    (-7)² +  81

49 +  81

                                        

Misal

           

 

-4                a= 0                            4

            a < -4         atau     a > 4

(buku catatan SMA Citra)

2.3 Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematikadan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secarasinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

-          Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

-          Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

-          Sifat-sifat fungsi

-Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂  dengan a₁tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

-Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

-Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Didalam diskusi, kami menyimpulkan bahwa persamaan dan pertidaksamaan mempunyai dua sisi yang berbeda. Untuk persamaan memiliki tanda sama dengan “=“ yang berarti kesamaan, sedangkan pertidaksamaan memiliki tanda >, <, ≤, ≥ yang berarti ketidaksamaan. Selain itu, hasil dari persamaan dan pertidaksamaan belum tentu anggota bilangan bulat tetapi bisa juga anggota bilangan real.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa aljabar elementer adalah cabang dari ilmu matematika yang mengkaji masalah persamaan dan pertidaksamaan terutama satu variable dan dua variable.

3.2 Saran

Saran yang dapat diberikan berdasar diskusi dan laporan kami yang dilakukan adalah :

1. Setelah kami melakukan diskusi tentang Aljabar Elementer, sebaiknya kita mencari sumber sumber akurat berkenaan dengan Aljabar Elementer agar konsep teori yang diambil dapat dimengerti dengan mudah.

2.Untuk seluruh Mahasiswa, selain kita memahami konsep Aljabar Elementer kita juga harus menerapkan konsep tersebut dengan mengerjakan soal soal yang berkaitan dengan Aljabar Elementer.

3.Untuk penulis laporan yang akan datang, kami sangat berharap dapat memperbaiki laporaan kami menjadi lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo,Sartono.2001.Matematika untuk SMA X.Jakarta : Erlangga hal 209

vieenalavina130.wordpress.com/2013/01/21

buku catatan SMA Citra

academia.edu/7356957/BAB_IV

id.wikipedia.org/wiki/pertidaksamaan

reekhado-math.blogspot.com/2012/12/1024x768-normal-o-false.html
LAMPIRAN

Berikut ini beberapa pertanyaan yang diajukan kepada kelompok kami :

1. Syitoh Noviani (14144100102)

Apakah suatu pertidaksamaan satu variable pangkat satu jika dibagi dengan negative akan berubah tanda ?

Jawab :

Iya berubah tanda karena untuk menghilangkan factor negative tersebut.

2. Deviana Nian (14144100079)

Meralat soal pada bagian        4x + 2y = 30    x 1  è 4x + 2y = 30

x + y = 13          x 2        2x + 2y = 26

                                                                                                            2x = 4

                                                                                                            x = 2

3. Ummi Ariva (14144100093)

Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian dalam garis bilangan ?

Jawab :

Misal soalnya seperti ini x² - 3x – 10 < 0

Misal x² - 3x – 10 = 0                         

(x – 5)(x + 2) = 0

             x = 5 atau x = -2                                

---

          +                            +

          - 2                      5

Hp = { x | -2 < x < 5, x  R }

4. Tika Nur Cahyani (14144100096)

Menanyakan letak kurva

5. Hari Wantoro (14144100095)

Menanyakan contoh pertidaksamaan kuadrat dua variable. Sudah dijelaskan dalam makalah.

  
TUGAS INDIVIDU